курс
по ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ


МАКСИМ ОЛЕГОВИЧ КОВАЛЬ
Руководитель проекта "Школково"
Эксперт ЕГЭ по математике
Руководитель образовательного проекта «Школково»
Учредитель Первого Всероссийского математического турнира
с призовым фондом «Школково-баттл»



КОНСТАНТИН ПАВЛОВИЧ ДРУЖКОВ
Аспирант 4 года механико-математического факультета МГУ
Учебный мастер кафедры гидромеханики
механико-математического факультета МГУ
Ассистент кафедры математики и математических
методов в физике МФТИ ИНБИКСТ
Стипендиат фонда развития теоретической физики
и математики "Базис"
Младший научный сотрудник ИПМ им. Келдыша РАН

стоимость 1990/мес.
Объем курса (количество занятий):
4 вебинара в неделю по 2 часа.
(более 300 часов за весь курс)
Совместная работа на вебинарах и ответственное выполнение домашних заданий позволит даже «с нуля» достигнуть высоких результатов.
Данный курс будет посвящён основам высшей математики. Он будет рассчитан на людей, желающих подтянуть уровень владения базовыми математическими дисциплинами или просто на тех, кому интересна математика. В рамках курса планируются лекции и семинары, на которых мы последовательно изложим начала математического анализа, алгебры, аналитической геометрии и математической статистики, с углублением в интересные темы и акцентами на взаимосвязи разделов. Мы постараемся выстроить занятия так, чтобы излагаемый материал был понятным. Надеемся, что данный курс можно будет рассматривать как структурированное введение в высшую математику. Также в рамках данного курса вы сможете присылать нам задачи из программы вашего факультета, чтобы мы их разобрали и все успешно сдали зачеты и экзамены.
Модуль 1. «Математический анализ» - 80 часов
Элементы теории множеств.
Натуральные числа. Математическая Индукция. Бином Ньютона.
Числа целые, рациональные, действительные. Аксиоматика множества
вещественных чисел.
Ограниченные множества. Инфимум и супремум. Теорема о существовании
Три принциапа математического анализа. Принцип Больцано-Вейерштрасса.
Теорема Кантора об интервалах. Теорема Бореля.
Функции. График функции. Обзор основных элементарных функций.
Числовые последовательности. Основные понятия и определения. Предел
последовательности. Сходящиеся последовательности.
Теоремы о существовании предела. Критерий Коши. Монотонные после-
довательности и теорема Вейерштрасса.
Подпоследовательности. Верхний и нижний предел. Операции со сходя-
щимися последовательностями.
Предел функции одной действительной переменной, непрерывность.
Функции и отображения. Предел функции.
Теоремы о пределе функции.
Непрерывные функции. Локальные свойства непрерывных функций.
Точки разрыва. Классификация точек разрыва. Точки разрыва монотонных функций.
Глобальные свойства непрерывных функций. Равномерно непрерывные
функции. Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях на отрезке. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении. Обратная функция.
Асимптотическое поведение функций. Символика Ландау.
Дифференциальное исчисление функций одной действительной пере-менной.
Производная и дифференцируемость функции. Дифференциал.
Касательная. Геометрический смысл производной.
Производная и арифметические операции над функциями.
Производные сложной и обратной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Локальный экстремум. Теорема Ферма. Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа. Теорема Коши.
Формула Тейлора.
Формулы Тейлора для элементарных функций.
Условия монотонности функций.
Достаточные условия экстремума функций.
Условия выпуклости функций.
Неопределённый интеграл
Определение интеграла Римана, простейшие свойства
Критерий существования определённого интеграла
Интеграл с переменным верхним пределом
Несобственные интегралы
Модуль 2. «Линейная алгебра» – 60 часов
Линейные пространства и подпространства. Примеры.
Линейная зависимость, базис, размерность.
Пересечение и сумма подпространств, их размерности.
Прямая сумма подпространств, эквивалентные определения. Внешняя прямая
сумма.
Факторпространство. Размерность факторпространства.
Координаты вектора. Закон изменения координат при замене базиса.
Линейные отображения и изоморфизмы. Ядро и образ, их размерности.
Матрица линейного отображения. Преобразование матрицы линейного отоб-
ражения при заменах базисов.
Двойственное пространство , двойственный базис.
Второе двойственное пространство, канонический изоморфизм
Сопряженное линейное отображение, его матрица.
Модуль 3. «Высшая алгебра» - 60 часов
Основные приложения алгебры. Системы линейных уравнений.
Метод Гаусса. Определители малых порядков.
Множества и отображения.
Обобщенная ассоциативность. Подстановки. Разложение на циклы.
Четность подстановок. Векторные пространства
Основная лемма о линейной зависимости. Размерность и базис. Ранг системы векторов
Ранг матрицы. Критерий совместности СЛУ. Матрицы и отображения
Произведение матриц. Транспонирование. Ранг произведения матриц. Квадратные матрицы
Обратные матрицы. Пространство решений
Определители. Свойства определителей. Аксиоматическое задание определителя
Разложение определителей по строке и столбцу. Определитель произведения матриц
Формула обратной матрицы. Формулы Крамера. Метод окаймляющих миноров
Модуль 4. «Аналитическая геометрия» - 60 часов
Прямая и плоскость
Прямая на плоскости
Способы задания прямой на плоскости
Плоскость в пространстве
Способы задания прямой в пространстве
Решение геометрических задач методами векторной алгебры
Нелинейные объекты на плоскости
и в пространстве
Линии на плоскости и в пространстве
Поверхности в пространстве
Цилиндрические и конические поверхности
Линии второго порядка на плоскости
Поверхности второго порядка в пространстве
Альтернативные системы координат
Модуль 5. «Математическая статистика» - 80 часов
Основные понятия теории вероятностей
Классические задачи теории вероятностей. Дискретное вероятностное пространство
Независимость событий. Условные вероятности
Дискретные случайные величины и их распределения. Функции распределения
Математическое ожидание и дисперсия. Неравенство Чебышева
Схема Бернулли и распределение Бернулли. Распределение Пуассона
Совместное распределение нескольких случайных величин
Условные математическое ожидание в дискретном случае
Закон Больших чисел
Теорема Макмиллана. Энтропия
Непрерывные случайные величины и их распределение. Плотность распределения
Свойства непрерывных случайных величин
Нормально распределенные случайные величины. Центральная предельная теорема
Свойства нормально распределенных случайных величин
Условные математическое ожидание в непрерывном случае